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平方公式和完全平方公式_平方公式-焦点

来源:互联网 时间:2023-05-05 20:04:54


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1、最低0.27元开通文库会员,查看完整内容> 原发布者:悦目琼花 平方和公式  平方和公式n(n+1)(2n+1)/6  即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注:n^2=n的平方)  证法一  (归纳猜想法):  N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1  2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5  3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6  则当N=x+1时,  1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2  =(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6  =(x+1)[2(x2)+7x+6]/6  =(x+1)(2x+3)(x+2)/6  =(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6  也满足公式  4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证。

2、证法二  (利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):  (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,  n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1  ..............................  3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1  2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.  把这n个等式两端分别相加,得:  (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,  由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,  代入上式得:  n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n  整理后得:  1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)完全平方计算公式(3x-5)²-(2x+7)²=9x²-30x+25-(4x²+28x+49)=5x²-58x-24(3x-5)²-(2x+7)²=(3x-5+2x+7)(3x-5-2x-7)=(5x+2)(x-12)=5x²-60x+2x-24=5x²-58x-24(x+y+1)(x+y-1)=(x+y)²-1=x²+2xy+y。

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